FFT 函数在 C 语言中的实现99

前言快速傅里叶变换 (FFT) 是一种计算傅里叶变换的快速算法，广泛应用于信号处理、图像处理和科学计算等领域。在 C 语言中，实现 FFT 有多种方法，其中最常用的方法之一是 Cooley-Tukey 算法。

Cooley-Tukey 算法Cooley-Tukey 算法将一个长度为 N 的复序列分解为两个长度为 N/2 的子序列，然后分别对这两个子序列进行 FFT 变换。该过程可以递归地进行，直到每个子序列的长度为 1。具体步骤如下：
将长度为 N 的复序列分解为两个长度为 N/2 的子序列
对这两个子序列分别进行 FFT 变换
将两个变换后的子序列合并成一个长度为 N 的序列
对合并后的序列进行蝶形运算

蝶形运算是一种将两个复数相加或相减的算法。在 FFT 中，蝶形运算用于将合并后的序列中的元素重新排列到正确的顺序。具体步骤如下：
将合并后的序列中的元素按奇偶数分开
将奇数元素依次相加或相减
将偶数元素依次相加或相减
将相加或相减后的元素合并成一个新的序列

通过重复上述步骤，可以将长度为 N 的复序列的 FFT 变换计算为 O(N log N) 的时间复杂度。

C 语言实现以下是 C 语言中 Cooley-Tukey FFT 算法的一种实现：```c
#include
#include
typedef struct {
double real;
double imag;
} complex;
void fft(complex *x, int n) {
if (n == 1) {
return;
}
complex *even = malloc(n / 2 * sizeof(complex));
complex *odd = malloc(n / 2 * sizeof(complex));
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
even[i].real = x[2 * i].real;
even[i].imag = x[2 * i].imag;
odd[i].real = x[2 * i + 1].real;
odd[i].imag = x[2 * i + 1].imag;
}
fft(even, n / 2);
fft(odd, n / 2);
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
double twiddle = -2 * M_PI * i / n;
complex w = {cos(twiddle), sin(twiddle)};
complex temp = w;
x[i].real = even[i].real + odd[i].real * - odd[i].imag * ;
x[i].imag = even[i].imag + odd[i].real * + odd[i].imag * ;
x[i + n / 2].real = even[i].real - odd[i].real * + odd[i].imag * ;
x[i + n / 2].imag = even[i].imag - odd[i].real * - odd[i].imag * ;
w = temp;
}
free(even);
free(odd);
}
```

使用说明要使用上述 FFT 实现，请执行以下步骤：
定义一个复数数组 x，其中存储要进行 FFT 变换的复数数据。
调用 fft() 函数，传递数组 x 和数组的长度 n。
FFT 变换完成后，数组 x 中将存储变换后的复数数据。

注意事项需要注意的是，FFT 函数只计算傅里叶变换的一半，即只计算正频率部分。要获得完整的傅里叶变换，需要将变换后的复数数据与自身的共轭复数相乘。

结语在 C 语言中实现 FFT 是一个相对复杂的任务，但是 Cooley-Tukey 算法提供了一种有效的方法来计算傅里叶变换。本文介绍了 Cooley-Tukey 算法的原理和 C 语言实现，希望可以帮助读者理解和使用 FFT 函数。

2024-11-22

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