快速傅里叶变换 (FFT) 在 C 语言中的实现241

离散傅里叶变换 (DFT) 是一种数学工具，可用于将时域信号转换为频域信号。然而，直接计算 DFT 的计算成本很高，尤其对于大型数据集。快速傅里叶变换 (FFT) 是一种优化算法，可将 DFT 的计算复杂度从 O(N²) 降低到 O(N log N)，这使得它对于大型数据集变得更加可行。

C 语言中的 FFT 实现

在 C 语言中，FFT 可以使用以下步骤实现：
1. 库函数：

许多 C 标准库和第三方库提供了预先实现的 FFT 函数。例如，FFTW 库是一个流行的高性能 FFT 实现。2. 手动实现：

您还可以手动实现 FFT，但这需要对算法有深入的了解。以下是手动实现 FFT 的一些经典算法：
Cooley-Tukey 算法
Radix-2 算法
Split-radix 算法

为了提高效率，这些算法通常使用递归和复数运算。

FFT 的应用

FFT 在各种领域都有广泛的应用，包括：
信号处理：音频、图像和视频的分析和合成
数据压缩：图像、音频和视频的压缩
密码学：快速数論变换 (NTT)
科学计算：偏微分方程和积分方程的求解
图像处理：图像增强、边缘检测和特征提取

代码示例

以下是用 C 语言手动实现 Cooley-Tukey FFT 算法的示例代码：```c
#include
#include
#include
// Cooley-Tukey FFT 算法
void fft(complex double *x, int n) {
if (n == 1) return;
// 偶数和奇数索引的子序列
complex double *even = malloc(n / 2 * sizeof(complex double));
complex double *odd = malloc(n / 2 * sizeof(complex double));
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
even[i] = x[2 * i];
odd[i] = x[2 * i + 1];
}
// 调用自身计算子序列的 FFT
fft(even, n / 2);
fft(odd, n / 2);
// 合并结果
for (int k = 0; k < n / 2; k++) {
complex double t = cexp(-2 * M_PI * k / n * I) * odd[k];
x[k] = even[k] + t;
x[k + n / 2] = even[k] - t;
}
free(even);
free(odd);
}
int main() {
// 输入信号
int n = 8;
complex double x[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
// 计算 FFT
fft(x, n);
// 打印结果
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("x[%d] = %.2f + %.2fi", i, creal(x[i]), cimag(x[i]));
}
return 0;
}
```