C语言实现Rosenbrock函数及其优化算法113

Rosenbrock函数，也称为Rosenbrock山谷函数或香蕉函数，是一个用于测试优化算法性能的非凸函数。其特点是具有一个狭窄的抛物线形的全局最小值，周围环绕着许多局部最小值，这使得寻找全局最小值变得具有挑战性。本文将详细介绍Rosenbrock函数的定义、C语言实现，以及几种常用的优化算法在求解Rosenbrock函数最小值时的应用和比较。

1. Rosenbrock函数定义

Rosenbrock函数的定义如下：

f(x, y) = (a - x)² + b(y - x²)²

其中，a 和 b 通常取值为 a = 1, b = 100。全局最小值位于 (1, 1)，函数值 f(1, 1) = 0。

2. C语言实现Rosenbrock函数

以下是用C语言实现Rosenbrock函数的代码：```c
#include
#include
double rosenbrock(double x, double y) {
double a = 1.0;
double b = 100.0;
return pow(a - x, 2) + b * pow(y - x * x, 2);
}
int main() {
double x = 0.0;
double y = 0.0;
double result;
printf("Enter x: ");
scanf("%lf", &x);
printf("Enter y: ");
scanf("%lf", &y);
result = rosenbrock(x, y);
printf("Rosenbrock function value at (%lf, %lf) is: %lf", x, y, result);
return 0;
}
```

这段代码首先定义了Rosenbrock函数，然后通过`main`函数获取用户输入的x和y值，并计算并输出Rosenbrock函数的值。我们可以通过修改`x`和`y`的值来探索函数的不同取值。

3. 优化算法应用

由于Rosenbrock函数的复杂性，简单的搜索方法很难找到全局最小值。我们需要采用更高级的优化算法，例如：

a) 梯度下降法 (Gradient Descent):

梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿着函数梯度的负方向移动来寻找最小值。 Rosenbrock函数的梯度为：

∇f(x, y) = [-2(a - x) - 4bx(y - x²), 2b(y - x²)]

以下是一个简单的梯度下降法的C语言实现 (需要设置合适的学习率和迭代次数):```c
#include
#include
// ... rosenbrock function definition ...
int main() {
double x = -1.2;
double y = 1.0;
double learning_rate = 0.001;
int iterations = 10000;
double dx, dy;
for (int i = 0; i < iterations; i++) {
dx = -2 * (1 - x) - 400 * x * (y - x * x);
dy = 200 * (y - x * x);
x += learning_rate * dx;
y += learning_rate * dy;
}
printf("Approximate minimum at (%lf, %lf), function value: %lf", x, y, rosenbrock(x, y));
return 0;
}
```