Java动态规划算法详解及代码示例36

动态规划 (Dynamic Programming, DP) 是一种强大的算法设计技术，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。它通过将问题分解成更小的、相互重叠的子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。Java 作为一门功能强大的编程语言，非常适合实现动态规划算法。本文将深入探讨 Java 中动态规划的实现，并通过多个具体的代码示例进行讲解。

核心思想：动态规划的核心思想是将一个复杂的问题分解成多个简单的、相互关联的子问题，并通过存储和利用子问题的解来解决原问题。这避免了重复计算，从而提高了算法的效率。这种方法通常适用于具有以下两个特征的问题：
最优子结构：问题的最优解可以由其子问题的最优解构成。
重叠子问题：在求解过程中，会多次遇到相同的子问题。

两种实现方式：在 Java 中，动态规划通常采用两种实现方式：
自顶向下（递归 + 记忆化）：通过递归解决问题，并使用一个数组或 HashMap 来存储已计算的子问题的解，避免重复计算。这种方法更易于理解，但递归的深度可能会导致栈溢出。
自底向上（迭代）：通过迭代的方式，从最小的子问题开始计算，逐步向上计算，直到得到最终结果。这种方法效率更高，避免了递归的开销，也避免了栈溢出。

示例 1：斐波那契数列

斐波那契数列是一个经典的动态规划问题。其递归定义为：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)。

自顶向下 (递归 + 记忆化)：```java
import ;
public class Fibonacci {
private static final int MAXN = 100;
private static long[] memo = new long[MAXN];
static {
(memo, -1);
memo[0] = 0;
memo[1] = 1;
}
public static long fib(int n) {
if (n < 0) {
throw new IllegalArgumentException("n must be non-negative");
}
if (memo[n] != -1) {
return memo[n];
}
memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
return memo[n];
}
public static void main(String[] args) {
(fib(10)); // Output: 55
}
}
```

自底向上 (迭代)：```java
public class FibonacciIterative {
public static long fib(int n) {
if (n < 0) {
throw new IllegalArgumentException("n must be non-negative");
}
if (n

2025-06-07

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