Python 多步法数值求解详解及代码实现171

多步法是求解常微分方程数值解的一种重要方法，它利用多个先前计算得到的数值点来预测下一个数值点。与一步法相比，多步法通常具有更高的效率，尤其是在求解稳定性较好的问题时。然而，多步法也存在一些缺点，例如需要初始值的个数更多，以及在起始阶段需要使用一步法进行辅助计算等。本文将详细介绍几种常用的多步法，并给出相应的Python代码实现，帮助读者深入理解和应用多步法。

我们将重点介绍以下几种多步法：Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。这两种方法都是线性多步法，其核心思想是利用前几个步长的信息来预测下一个步长的值。它们的区别在于Adams-Bashforth法是显式方法，而Adams-Moulton法是隐式方法。

Adams-Bashforth法

Adams-Bashforth法是一种显式多步法，其公式可以表示为：

yn+1 = yn + h * Σi=0k-1 βi * f(tn-i, yn-i)

其中：yn+1是下一个步长的数值解，yn, yn-1, ..., yn-k+1是前k个步长的数值解，h是步长，f(t, y)是常微分方程的右端项，βi是系数，其值取决于具体的Adams-Bashforth公式的阶数。

例如，二阶Adams-Bashforth公式的系数为：β0 = 3/2, β1 = -1/2. 四阶Adams-Bashforth公式的系数为：β0 = 55/24, β1 = -59/24, β2 = 37/24, β3 = -9/24.

下面是Python代码实现二阶Adams-Bashforth法：```python
import numpy as np
def adams_bashforth_2nd(f, t0, y0, h, t_end):
"""
二阶Adams-Bashforth法求解常微分方程
Args:
f: 常微分方程的右端项函数
t0: 初始时间
y0: 初始值
h: 步长
t_end: 终止时间
Returns:
t: 时间序列
y: 数值解序列
"""
t = (t0, t_end + h, h)
y = (len(t))
y[0] = y0
# 使用Euler法计算第一个步长
y[1] = y[0] + h * f(t[0], y[0])
for i in range(1, len(t) - 1):
y[i+1] = y[i] + h * (3/2 * f(t[i], y[i]) - 1/2 * f(t[i-1], y[i-1]))
return t, y
# 例子：求解 y' = t*y, y(0) = 1
def f(t, y):
return t * y
t0 = 0
y0 = 1
h = 0.1
t_end = 1
t, y = adams_bashforth_2nd(f, t0, y0, h, t_end)
print(t)
print(y)
```